Perbedaan antara acara yang saling eksklusif dan independen

Acara independen vs yang saling eksklusif

Orang sering membingungkan konsep acara yang saling eksklusif dengan acara independen. Faktanya, ini adalah dua hal yang berbeda.

Biarkan A dan B menjadi dua peristiwa yang terkait dengan eksperimen acak e. P (a) disebut "probabilitas a". Demikian pula, kita dapat mendefinisikan probabilitas B sebagai P (b), probabilitas A atau B sebagai P (A∪B), dan probabilitas A dan B sebagai P (A∩B). Kemudian, p (a∪b) = p (a)+ p (b) -p (a∩b).

Namun, dua peristiwa dikatakan saling eksklusif jika terjadinya satu peristiwa tidak mempengaruhi yang lain. Dengan kata lain, mereka tidak dapat terjadi secara bersamaan. Oleh karena itu, jika dua peristiwa a dan b saling eksklusif maka a∩b = ∅ dan karenanya, itu menyiratkan p (a∪b) = p (a)+ p (b).

Biarkan A dan B menjadi dua peristiwa dalam ruang sampel s. Probabilitas bersyarat A, mengingat bahwa B telah terjadi, dilambangkan dengan P (A | B) dan didefinisikan sebagai; P (a | b) = p (a∩b)/p (b), disediakan p (b)> 0. (Jika tidak, itu tidak didefinisikan.)

Suatu peristiwa A dikatakan independen dari suatu peristiwa B, jika probabilitas bahwa A terjadi tidak dipengaruhi oleh apakah B telah terjadi atau tidak. Dengan kata lain, hasil dari peristiwa B tidak berpengaruh pada hasil acara a. Oleh karena itu, p (a | b) = p (a). Demikian pula, B tidak tergantung pada A if p (b) = p (b | a). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa jika a dan b adalah peristiwa independen, maka p (a∩b) = p (a).P (b)

Asumsikan bahwa kubus bernomor digulung dan koin yang adil dibalik. Biarkan A menjadi peristiwa yang mendapatkan kepala dan B menjadi peristiwa yang menggulung angka genap. Maka kita dapat menyimpulkan bahwa peristiwa A dan B adalah independen, karena hasil satu itu tidak mempengaruhi hasil yang lain. Oleh karena itu, p (a∩b) = p (a).P (b) = (1/2) (1/2) = 1/4. Karena p (a∩b) ≠ 0, a dan b tidak dapat saling eksklusif.

Misalkan guci berisi 7 kelereng putih dan 8 kelereng hitam. Tentukan acara A sebagai menggambar marmer putih dan acara B sebagai menggambar marmer hitam. Dengan asumsi setiap marmer akan diganti setelah mencatat warnanya, lalu p (a) dan p (b) akan selalu sama, tidak peduli berapa kali kita menarik dari guci. Mengganti kelereng berarti bahwa probabilitas tidak berubah dari undian menjadi draw, tidak peduli warna apa yang kami pilih pada undian terakhir. Oleh karena itu, acara A dan B mandiri.

Namun, jika kelereng ditarik tanpa penggantian, maka semuanya berubah. Di bawah asumsi ini, peristiwa A dan B tidak mandiri. Menggambar marmer putih pertama kali mengubah probabilitas untuk menggambar marmer hitam pada undian kedua dan sebagainya. Dengan kata lain, setiap undian memiliki efek pada undian berikutnya, dan penarikan individu tidak independen.