Perbedaan antara Integral Riemann dan Integral Lebesgue

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrasi adalah topik utama dalam kalkulus. Dalam arti Broder, integrasi dapat dilihat sebagai proses diferensiasi sebaliknya. Saat memodelkan masalah dunia nyata, mudah untuk menulis ekspresi yang melibatkan turunan. Dalam situasi seperti itu, operasi integrasi diperlukan untuk menemukan fungsi, yang memberikan turunan tertentu.

Dari sudut lain, integrasi adalah proses, yang merangkum produk fungsi ƒ (x) dan Δx, di mana Δx cenderung menjadi batas tertentu. Inilah sebabnya, kami menggunakan simbol integrasi sebagai ∫. Simbol ∫ sebenarnya, apa yang kita peroleh dengan meregangkan huruf S untuk merujuk pada jumlah.

Integral Riemann

Pertimbangkan fungsi y = ƒ (x). Integral y antara antara A Dan B, Di mana A Dan B milik satu set X, ditulis sebagai _B∫^Aƒ (x) dx = [F(X)]_A→B = F(B) - F(A). Ini disebut integral yang pasti dari fungsi tunggal yang dihargai dan kontinu y = ƒ (x) antara A dan B. Ini memberikan area di bawah kurva di antara A Dan B. Ini juga disebut Riemann Integral. Riemann Integral diciptakan oleh Bernhard Riemann. Riemann Integral dari fungsi kontinu didasarkan pada ukuran Jordan, oleh karena itu, ia juga didefinisikan sebagai batas jumlah Riemann dari fungsi tersebut. Untuk fungsi bernilai nyata yang didefinisikan pada interval tertutup, Riemann integral fungsi sehubungan dengan partisi x₁, X₂,… , X_N didefinisikan pada interval [a, b] dan t₁, T₂,… , T_N, dimana x_Saya ≤ t_Saya ≤ x_i+1 Untuk setiap i ε 1, 2,…, n, jumlah riemann didefinisikan sebagai σ_{i = o hingga n-1} ƒ (t_Saya)(X_i+1 - X_Saya).

Integral Lebesgue

Lebesgue adalah jenis integral lain, yang mencakup berbagai kasus daripada Riemann Integral. Integral Lebesgue diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi Legesgue dapat dianggap sebagai generalisasi integrasi Riemann.

Mengapa kita perlu mempelajari integral lain?

Mari kita pertimbangkan fungsi karakteristik ƒ_{A (x) = 0 jika, x tidak ε a}^{1 jika, x ε a} di satu set a. Kemudian kombinasi linear yang terbatas dari fungsi karakteristik, yang didefinisikan sebagai F(x) = σ a_SayaƒE_Saya(x) disebut fungsi sederhana jika E_Saya dapat diukur untuk setiap i. Integral lebesgue F(x) berakhir E dilambangkan oleh _E∫ ƒ (x) dx. Fungsinya F(x) bukan Riemann yang dapat diintegrasikan. Oleh karena itu Lebesgue Integral adalah Rephrase Riemann Integral, yang memiliki beberapa batasan pada fungsi yang akan diintegrasikan.