Perbedaan antara turunan dan diferensial

Turunan vs diferensial
 

Dalam kalkulus diferensial, turunan dan diferensial suatu fungsi terkait erat tetapi memiliki makna yang sangat berbeda, dan digunakan untuk mewakili dua objek matematika penting yang terkait dengan fungsi yang dapat dibedakan.

Apa turunannya?

Derivatif suatu fungsi mengukur laju di mana nilai fungsi berubah seiring perubahan inputnya. Dalam fungsi multi-variabel, perubahan nilai fungsi tergantung pada arah perubahan nilai variabel independen. Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, arah tertentu dipilih dan fungsi dibedakan dalam arah tertentu. Turunan itu disebut turunan terarah.  Derivatif parsial adalah jenis khusus dari turunan arah.

Turunan dari fungsi bernilai vektor F dapat didefinisikan sebagai batas [latex] \\ frac df d \\ boldsymbol u = \\ lim_ h \ ke 0 \\ frac f (\\ boldsymbol x+h \\ boldsymbol u)-f (\\ boldsymbol x) h [/latex] di mana pun ada secara halus. Seperti yang disebutkan sebelumnya, ini memberi kita tingkat peningkatan fungsi F di sepanjang arah vektor u. Dalam kasus fungsi bernilai tunggal, ini dikurangi menjadi definisi turunan yang terkenal, [latex] \\ frac df dx = \\ lim_ h \\ ke 0 \\ frac f f (x+h) -f (x) h [/latex]

Misalnya, [lateks] f (x) = x^3+4x+5 [/lateks] di mana -mana dapat dibedakan, dan turunannya sama dengan batasnya, [lateks] \\ lim_ h \\ hingga 0 \\ frac (x+h)^3 +4 (x+h)+5- (x^3+4x+5) h [/lateks], yang sama dengan [lateks] 3x^2 +4 [/lateks]. Derivatif fungsi seperti [lateks] e^x, \\ sin x, \\ cos x [/lateks] ada di mana -mana. Mereka masing -masing sama dengan fungsi [lateks] e^x, \\ cos x, - \\ sin x [/lateks].                                                                                

Ini dikenal sebagai turunan pertama. Biasanya turunan fungsi pertama F dilambangkan oleh F ⁽¹⁾. Sekarang menggunakan notasi ini, dimungkinkan untuk mendefinisikan turunan urutan yang lebih tinggi. [latex] \\ frac d^2 f dx^2 = \\ lim_ h \\ ke 0 \\ frac f^(1) (x+h) -f ^(1) (x) h [/latex] adalah turunan arah urutan kedua, dan menunjukkan N^th turunan oleh F ^(N) untuk setiap N, [latex] \\ frac d^n f dx^n = \\ lim_ h \\ ke 0 \\ frac f^(n-1) (x+h) -f^(n-1) (x) h [/latex], mendefinisikan N^th turunan.

Apa itu diferensial?

Diferensial suatu fungsi mewakili perubahan fungsi sehubungan dengan perubahan variabel independen atau variabel. Dalam notasi biasa, untuk fungsi yang diberikan F dari satu variabel X, Perbedaan total pesanan 1 DF IS diberikan oleh, [latex] df = f^1 (x) dx [/latex]. Ini berarti bahwa untuk perubahan yang sangat kecil X(Saya.e. DX), akan ada a  F ⁽¹⁾(X)DX perubahan F.

Menggunakan batas seseorang dapat berakhir dengan definisi ini sebagai berikut. Asumsikan ∆X Apakah perubahannya X pada titik sewenang -wenang X dan ∆F adalah perubahan fungsi yang sesuai F. Dapat ditunjukkan bahwa ∆f = f ⁽¹⁾(X) ∆X+ ϵ, dimana ϵ adalah kesalahannya. Sekarang, batas ∆x →0^∆F/_∆X= F ⁽¹⁾(X) (menggunakan definisi turunan yang sebelumnya dinyatakan) dan dengan demikian, ∆x →0^ϵ/_∆X= 0. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa, ∆x →0ϵ = 0. Sekarang, menunjukkan ∆x →0 ∆F sebagai dF dan ∆x →0 ∆X sebagai dX Definisi diferensial diperoleh secara ketat. 

Misalnya, diferensial fungsi [lateks] f (x) = x^3+4x+5 [/lateks] adalah [lateks] (3x^2 +4) dx [/lateks].

Dalam kasus fungsi dua atau lebih variabel, perbedaan total fungsi didefinisikan sebagai jumlah diferensial dalam arah masing -masing variabel independen. Secara matematis, dapat dinyatakan sebagai [laTeX] df = \\ sum_ i = 1^n \\ frac \\ parsial f \\ parsial x_ i dx_ i [/lateks].