Perbedaan antara ortogonal dan ortonormal

Ortogonal vs ortonormal

Dalam matematika, dua kata ortogonal dan ortonormal sering digunakan bersama dengan satu set vektor. Di sini, istilah 'vektor' digunakan dalam arti bahwa itu adalah elemen dari ruang vektor - struktur aljabar yang digunakan dalam aljabar linier. Untuk diskusi kami, kami akan mempertimbangkan ruang produk dalam - ruang vektor V Seiring dengan produk dalam [] didefinisikan di V.

Sebagai contoh, untuk produk dalam, ruang adalah himpunan semua vektor posisi 3 dimensi bersama dengan produk titik biasa.

Apa itu ortogonal?

Subset yang tidak keras S ruang produk dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika untuk masing -masing berbeda u, v di dalam S, [u, v] = 0; Saya.e. produk batin u Dan v sama dengan skalar nol di ruang produk dalam.

Misalnya, dalam himpunan semua vektor posisi 3-dimensi, ini setara dengan mengatakan bahwa, untuk setiap pasangan vektor posisi yang berbeda P Dan Q dalam s, P Dan Q saling tegak lurus. (Ingatlah bahwa produk batin dalam ruang vektor ini adalah produk titik. Juga, produk titik dari dua vektor sama dengan 0 jika dan hanya jika kedua vektor tegak lurus satu sama lain.)

Pertimbangkan set S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), yang merupakan subset dari vektor posisi 3-dimensi. Amati itu (0,2,0).(4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Karenanya, set S adalah ortogonal. Secara khusus, dua vektor dikatakan ortogonal jika produk dalamnya adalah 0. Oleh karena itu, setiap pasangan vektor di Sadalah ortogonal.

Apa ortonormal?

Subset yang tidak keras S ruang produk dalam V dikatakan ortonormal jika dan hanya jika S adalah ortogonal dan untuk setiap vektor u di dalam S, [u, u] = 1. Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa setiap set ortonormal adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.

Misalnya, dalam himpunan semua vektor posisi 3-dimensi, ini setara dengan mengatakan bahwa, untuk setiap pasangan vektor posisi yang berbeda P Dan Q di dalam S, P Dan Q saling tegak lurus, dan untuk masing -masing P di dalam S, | P | = 1. Ini karena kondisinya [p, p] = 1 berkurang menjadi P.p = | p || p |cos0 = | P |²= 1, yang setara dengan | P | = 1. Oleh karena itu, diberikan satu set ortogonal kita selalu dapat membentuk himpunan ortonormal yang sesuai dengan membagi setiap vektor dengan besarnya.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) adalah subset ortonormal dari set semua vektor posisi 3-dimensi. Mudah untuk melihat bahwa itu diperoleh dengan membagi masing -masing vektor di set S, dengan besaran mereka.

Apa perbedaan antara ortogonal dan ortonormal?

• Subset yang tidak keras S ruang produk dalam V dikatakan ortogonal, jika dan hanya jika untuk setiap berbeda u, v di dalam S, [u, v] = 0. Namun, itu ortonormal, jika dan hanya jika kondisi tambahan - untuk setiap vektor u di dalam S, [u, u] = 1 puas.
• Set ortonormal apa pun adalah ortogonal tetapi tidak sebaliknya.
• Set ortogonal apa pun sesuai dengan set ortonormal yang unik tetapi set ortonormal mungkin sesuai dengan banyak set ortogonal.